题目

如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ. 答案：证法一:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,ΡΒ⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.∵α与β相交,∴PA与PB相交.又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.证法二:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,m⊥γ.∴m∥n.又nβ,∴m∥β.∴m∥l.∴l⊥γ.证法三:在l上取一点P,过点P作γ的垂线l′,但α∩β=l,∴l与l′重合.∴l⊥γ.小结:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内”这一性质,添加了l′这条辅助线,这是证法三的关键.通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的方法.

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