题目

设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. （1）求b； （2）若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围． 答案：（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）由导数几何意义可得函数在处的导数为曲线在点处的切线斜率，据此解出值；（2）由已知，存在，使得，等价于在上，，分、及三类情况分别进行讨论，通过函数单调区间及函数值的分布，解出符合要求的的取值范围. 试题解析：（1）(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知(1)＝0，解得b＝1， （2）f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x， (x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)． （i）若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1<a<－1. （ii）若<a<1，则>1，故当x∈时，(x)<0； 当x∈时，(x)>0. f(x)在上单调递减，在上单调递增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为. 而＝aln＋＋>，所以不合题意． （iii）若a>1， 则f(1)＝－1＝<，符合题意． 综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)． 考点：1、导数几何意义；2、利用导数求最值. 【思路点睛】本题主要考查导数的应用.在对题目的分析上，首先需要将问题化归为导数求函数最值的问题，在本题中，故可检验当自变量时，存在函数值，故当函数的最小值小于时，可满足题意，结合参数的取值范围，利用导数确定函数的单调性，进而求出的取值范围.

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