题目

如图，F是抛物线的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论： ①以线段AF为直径的圆必与y轴相切； ②当点A为坐标原点时，|AF|为最短； ③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时， |AF|+|BF|取得最小值； ④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点(A)(B)C的横坐标亦成等差数列．                                            其中正确结论的个数是(     ) (A)1个                  (B)2个              (C)3个              (D)4个 答案：C 【解析】①由已知抛物线的焦点，设，则圆心坐标为，∴圆心到y轴的距离为，圆的半径为，∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．故①正确；②设，则 ,∴x=0时，即当点A为坐标 原点时，|AF|为最短，②正确；③设，，则|AF|+|BF|=x1+x2+p，显然x1+x2=0， 即A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正确；④设点A、B、C的横坐标分别为a，b，c，则∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴点A、B、C的横坐标亦成等差数列，故④正确．综上知，正确结论的个数是3个．

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