题目

若函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次构成公差为π的等差数列． （Ⅰ）求ω及m的值； （Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和． 答案：【考点】数列的求和；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）把f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣利用二倍角的余弦公式化简，然后由周期公式求周期； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），结合在x∈[0，2π]上的零点求得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣ =ωx+（1﹣cos2ωx）﹣=2ωx﹣2ωx=sin（2ωx﹣）， 依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0， ∴2ω=， ∴ω=1，则m=±1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），∴， ∴． 又∵x∈[0，2π]， ∴． ∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为． 【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．

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