题目

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝AA1＝2，D是AB的中点． (1)求证：CD⊥平面ABB1A1；(2)求二面角D－A1C－A的正切值． 答案：解 (1)证明：因为AC＝CB，∠ACB＝90°，D是AB的中点，所以CD⊥AB， 又因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，又∵AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.--------------5分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AC＝CB＝AA1＝2，∴A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，C(0,0,0)，C1(0,0,2)． 显然平面A1AC的法向量为m＝(0,1,0)，设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)， 则，即，令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，-----9分 令m，n的夹角为θ，则cos θ＝＝－， ∴二面角D－A1C－A的余弦值为，其正切值为

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