题目

数学活动﹣﹣求重叠部分的面积． 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合． （1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积； （2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 【分析】（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出； （2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式，求出，即可求出． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴DC=DB=DA． ∴∠B=∠DCB． 又∵△ABC≌△FDE， ∴∠FDE=∠B． ∴∠FDE=∠DCB． ∴DG∥BC． ∴∠AGD=∠ACB=90°． ∴DG⊥AC． 又∵DC=DA， ∴G是AC的中点． ∴． ∴． （2）如图2所示： ∵△ABC≌△FDE， ∴∠B=∠1． ∵∠C=90°，ED⊥AB， ∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°， ∴∠B=∠2， ∴∠1=∠2， ∴GH=GD， ∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠A=∠3， ∴AG=GD， ∴AG=GH， ∴点G为AH的中点； 在Rt△ABC中，， ∵D是AB中点， ∴， 在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°， ∴△ADH∽△ACB， ∴， ∴， ∴． ∴． 　

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