题目

如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E．    （1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为            ．（请直接填结论）    （2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转（0＜＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．      ① 如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．      ② 如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．      ③ 当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为            ．（请直接填结论） 　 答案：（1）AB＝2OE    （2）①              证明：过点B作BH⊥OE于点H    ∴∠BHE＝∠BHO=90° ∵OE⊥MN，BF⊥MN  ∴∠BFE＝∠OEF＝90° ∴四边形EFBH为矩形 ∴BF＝EH，EF＝BH      ∵四边形ABCD为正方形 ∴OA＝OB，∠AOB＝90° ∴∠AOE+∠HOB＝∠OBH+∠HOB=90°    ∴∠AOE＝∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS） ∴AE＝OH，OE＝BH          ∴AF+BF＝AE+EF+BF ＝OH+BH+EH＝OE+OE＝2OE． （3）②    证明：延长OE，过点B作BH⊥OE于点H        ∴∠EHB＝90°  ∵OE⊥MN，BF⊥MN ∴∠AEO＝∠HEF＝∠BFE＝90°    ∴四边形HBFE为矩形 ∴BF＝HE，EF＝BH     ∵四边形ABCD是正方形   ∴OA＝OB，∠AOB＝90° ∴∠AOE+∠BOH＝∠OBH+∠BOH  ∴∠AOE＝∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）  ∴AE＝OH，OE＝BH ∴AF－BF ＝AE+EF－HE＝OH－HE+OE ＝OE+OE ＝2OE         （4）    

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