题目

已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值. 答案：解：（Ⅰ）由知，和不在椭圆上，即椭圆经过，，. 于是. 所以 椭圆的方程为：.                   （Ⅱ）①当时，设直线，由得 .设，则， 所以 . 于是，此时，所以 直线. 因为，故线段与轴相交于，即原点在线段的延长线上，即原点在的外部，符合题设.                 所以 . 当时取到最大值.                               ②当时，不妨设. 设直线，由得. 所以 或. 所以，由，可得直线. 由得. 所以 . 所以 线段与轴相交于. 显然原点在线段上，即原点在的内部，不符合题设. 综上所述，所求的面积的最大值为.                  

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