题目

(1)设a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).(2)设a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证:abc＞(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).(3)已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥25.(4)设x＞0,y＞0,求证:. 答案：证明：(1)∵a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1,∴1-a=b+c＞0.同理,1-b=a+c＞0,1-c=a+b＞0,∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c).∵a+b≥2＞0,b+c≥2＞0,a+c≥2＞0,∴(a+b)(b+c)(a+c)≥2·2·2=8abc(当a=b=c=时,等号成立).(2)∵a,b,c为一个不等边三角形的三边,∴a＞0,b＞0,c＞0且a+b-c＞0,a+c-b＞0,b+c-a＞0.∵a=≥＞0,同理,b=≥＞0,c=＞0,由于三角形是不等边三角形,上述三式不能同时取“＝”,∴abc＞(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).(3)设y===∵a＞0,b＞0,a+b=1,∴a2+2ab+b2=1.∴a2+b2=1-2ab.∴y=1+令t=,则y=2t2-2t+1.,即0＜ab≤.∴≥4,即t∈［4,+∞).由二次函数的性质可知对称轴t=.y=2t2-2t+1在t∈［4,+∞)上是增函数.∴当t=4时,y取最小值25.故(1+)(1+)≥25.(4)∵x＞0,y＞0,∴(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3＞x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2.由不等式的性质,两边同时开6次方,得.

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