题目

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求∠BAO的度数．（直接写出结果） （2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度． （3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标． （4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由． 答案：解：（1）如图， 过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10， ∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO==， ∴∠BAO=60°；  （2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒， 点P的运动速度为2个单位/秒； （3）P（10﹣t， t）（0≤t≤5）， ∵S=（2t+2）（10﹣t）， =﹣（t﹣）2+， ∴当时，S有最大值为， 此时； （4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出： ， 解得：， 当P在BC上时，， 此方程无解，故t不存在， 综上所知当t=时，PO=PQ．

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