题目

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1. (第12题) (1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO； (2)求三棱锥P-ABC体积的最大值； (3)若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值. 答案：(1) 在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD. 又PO垂直于圆O所在的平面，AC圆O所在的平面，所以PO⊥AC. 因为PO∩DO=O，PO，DO平面PDO，所以AC⊥平面PDO. (2) 因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，点C到AB的距离最大，且最大值为1. 又AB=2，所以△ABC面积的最大值为 ×2×1=1. 又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=. (3) 在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==. 同理PC=，所以PB=PC=BC. 在三棱锥P-ABC中，将侧面PCB绕PB旋转至平面PBC'，使之与平面ABP共面，当O，E，C'共线时，CE+OE取得最小值. 又因为OP=OB，C'P=C'B，所以OC'垂直平分PB，即E为PB的中点. 从而OC'=OE+EC'=+=，即CE+OE的最小值为.

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