题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中点．    （1） 求证：EC//平面APD；             （2）求BP与平面ABCD所成角的正切值；    （3）求二面角P-AB-D的大小． 答案：（1）证明略（2）（3）二面角P-AB-D的大小为 解析:解法一：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，∵E是BP的中点， ∵EF//AB且， 又∵ ∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD 又∵EC平面PAD，FD平面PAD,∴EC//平面ADE．    …………………4分    （Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD ∵平面PAD⊥平面ABCD于AD      ∴PH⊥面ABCD ∴HB是PB在平面ABCD内的射影     ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角     ∵四边形ABCD中，   ∴四边形ABCD是直角梯形   设AB=2a，则， 在中,易得, ， 又∵， ∴是等腰直角三角形，           ∴     ∴在中，．   …………………8分    （III）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a ，又∴ 在中， ∴二面角P-AB-D的大小为．   …………………12分 解法二：    （Ⅰ）同解法一    （Ⅱ）设AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得     如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．则，， 则， 平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）， 所以， 可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为 所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为．    …………………8分    （III）易知，则，设平面PAB的一个法向量为，则    ，     令，可得  得，          所以二面角P-AB-D的大小为．     …………………12分

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