题目

已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣4n，0），且f′（0）=2n，n∈N*，数列{an}满足，且a1=4． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记，求数列{bn}的前n项和Tn． （3）并求出Tn的最小值．   答案：【考点】数列的求和；数列的应用． 【专题】综合题；函数思想；作差法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由条件可得a，b，可得f（x）的解析式，再由累加法，运用等差数列的求和公式，即可得到数列的通项； （2）化简bn=2（﹣），运用裂项相消求和，即可得到所求； （3）判断Tn==2﹣在n∈N*上单调递增，即可得到所求最小值． 【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=2ax+b． 由题意知f′（0）=b=2n，16n2a﹣4nb=0， ∴a=，b=2n，∴f（x）=x2+2nx，n∈N*． 又数列{an}满足，f′（x）=x+2n， ∴=+2n，∴﹣=2n． 由叠加法可得﹣=2+4+6+…+2（n﹣1）=n2﹣n，化简可得an=（n≥2）． 当n=1时，a1=4也符合上式， ∴an=（n∈N*）． （2）∵==2（﹣）， ∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+ =2（1﹣+﹣+…+﹣） =2（1﹣）=． 故数列{bn}的前n项和Tn= （n∈N*）； （3）Tn==2﹣在n∈N*上单调递增， 则Tn的最小值为T1=． 【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用累加法和等差数列的求和公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列的单调性及运用：求最值，属于中档题．  

查看本题答案和解析