题目
如图,AB是半圆O的直径,点C圆外一点,OC垂直于弦AD,垂足为点F,OC交⊙O于点E,连接AC,∠BED=∠C. (1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论; (2)是否存在BE平分∠OED的情況?如果存在,求此时∠C的度数;如果不存在,说明理由.
答案:(1)AC与⊙O相切,见解析;(2)∠C=30° 【分析】 (1)由于OC⊥AD,那么∠OAD+∠AOC=90°,又∠BED=∠BAD,且∠BED=∠C,于是∠OAD=∠C,从而有∠C+∠AOC=90°,再利用三角形内角和定理,可求∠OAC=90°,即AC是⊙O的切线. (2)证明∠AOC=2∠C,再利用三角形内角和定理即可解决问题. 【详解】 (1)AC与⊙O相切.理由如下: ∵OC⊥AD, ∴∠AOC+∠BAD=90°. 又∵∠C=∠BED=∠BAD, ∴∠AOC+∠C=90°. ∴AB⊥AC, ∴AC与⊙O相切. (2)存在. ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE. ∵∠C=∠BED=∠BEO,∠AOC=∠OEB+∠OBE, ∴∠AOC=2∠C. ∵∠AOC+∠C=90°, ∴2∠C+∠C=90°, ∴∠C=30°. 【点睛】 本题考查了切线的判定定理以及圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.