题目

如图，AB是半圆O的直径，点C圆外一点，OC垂直于弦AD，垂足为点F，OC交⊙O于点E，连接AC，∠BED＝∠C． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）是否存在BE平分∠OED的情況？如果存在，求此时∠C的度数；如果不存在，说明理由． 答案：（1）AC与⊙O相切，见解析；（2）∠C＝30° 【分析】 （1）由于OC⊥AD，那么∠OAD+∠AOC=90°，又∠BED=∠BAD，且∠BED=∠C，于是∠OAD=∠C，从而有∠C+∠AOC=90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC=90°，即AC是⊙O的切线． （2）证明∠AOC=2∠C，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】 （1）AC与⊙O相切．理由如下： ∵OC⊥AD， ∴∠AOC+∠BAD=90°． 又∵∠C=∠BED=∠BAD， ∴∠AOC+∠C=90°． ∴AB⊥AC， ∴AC与⊙O相切． （2）存在． ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE． ∵∠C=∠BED=∠BEO，∠AOC=∠OEB+∠OBE， ∴∠AOC=2∠C． ∵∠AOC+∠C=90°， ∴2∠C+∠C=90°， ∴∠C=30°． 【点睛】 本题考查了切线的判定定理以及圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

查看本题答案和解析