题目

（2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由． 答案：（1）四边形OKPA是正方形．证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形．（2分）（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．（4分）易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．（6分）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：解之得：a=，b=，c=．∴二次函数关系式为：．（9分）②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：解之得：u=，v=．∴直线BP的解析式为：．过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．解方程组：得：；．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．∴0=．∴．∴直线CM的解析式为：．解方程组：得：；．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）解法二：∵，∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，）符合要求．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．即．解得：x1=0（舍），x2=4．∴点M的坐标为（4，）．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）解析:略

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