题目
(2011•德州)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数(x>0)图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:①求出点A,B,C的坐标.②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.
答案:(1)四边形OKPA是正方形.证明:∵⊙P分别与两坐标轴相切,∴PA⊥OA,PK⊥OK.∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOK=90°,∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.∴四边形OKPA是矩形.又∵OA=OK,∴四边形OKPA是正方形.(2分)(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.过点P作PG⊥BC于G.∵四边形ABCP为菱形,∴BC=PA=PB=PC.∴△PBC为等边三角形.在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=.sin∠PBG=,即.解之得:x=±2(负值舍去).∴PG=,PA=BC=2.(4分)易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3.∴A(0,),B(1,0)C(3,0).(6分)设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.据题意得:解之得:a=,b=,c=.∴二次函数关系式为:.(9分)②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:解之得:u=,v=.∴直线BP的解析式为:.过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为:.解方程组:得:;.过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:.∴0=.∴.∴直线CM的解析式为:.解方程组:得:;.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)解法二:∵,∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.∴点M(4,)符合要求.点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.即.解得:x1=0(舍),x2=4.∴点M的坐标为(4,).点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)解析:略