题目

(本题满分12分) 如图，在正方体中，E、F分别是棱的中点． （１）证明； （２）求与所成的角； （３）证明：面面. 答案：方法1（坐标法解答前两问） （1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2a，则由条件可得      （1分） D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A1(2a,0,2a) =（-2a,0,0）,  =(0, a, -2a),      ∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,       ∴，即。                （4分） （2）解：∵，=(0, a, -2a),      ∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0            ∴cos<,>==0,  即,的夹角为90°，所以直线AE与D1F所成的角为直角。.（8分） （3）证明：由（1）、（2）知D1F⊥AD，D1F⊥AE, 而AD∩AE=A，                  ∴D1F⊥平面AED，            ∵D1F平面A1FD1            ∴平面AED⊥平面A1FD1.     （12分） 方法2（综合法） 证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1。   又DF1DC1，所以AD⊥D1F.           （4分） 取AB中点G，连结A1G，FG，                因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1     故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。 设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。    因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。                     （8分） （3）与上面解法相同。

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