题目

过定点A（-2，-1），倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax2交于B、C，且|BC|是|AB|、|AC|的等比中项，求抛物线方程. 答案：解：设A（-2，-1），B（x1,y1），C（x2,y2）在x轴上的射影分别为A′（-2，0），B′（x1,0）,C′（x2,0）∵|BC|2=|AB|·|AC|,∴|B′C′|2=|A′B′|·|A′C′|.于是有|x1-x2|2=（x1+2）（x2+2）.                             ①直线AC的方程为y=x+1，代入y=ax2并整理得ax2-x-1=0，∴    x1+x2=,x1x2=-.                                                 ②把②代入①得a=1或a=-.当a=1时，方程ax2-x-1=0的判断式Δ＞0；当a=-时，Δ=0，B、C重合，不合题意，舍去.∴抛物线方程为y=x2.

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