题目

（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．1.（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； 2.（2）当DE=8时，求线段EF的长；3.（3）在点B运动过程中，当交点E在O，C之间时，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．  答案： 1.（1）连结BC,∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=;    ……4分2.（2）连结OD,∵OA是⊙C直径,  ∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴,即，∴EF=3；……4分 3.（3）设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，①当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）；（2分）②当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得：,∴E2（，0）;（2分）解析:略 

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