题目

设函数f(x)＝k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围． 答案：解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由k≤0可得ex－kx>0， 所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减， x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增． 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减， 故f(x)在(0,2)内不存在极值点； 当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)， 因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k， 当0<k≤1时， 当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增． 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点； 当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减． x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增． 所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)． 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.

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