题目

如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD，设∠COB=θ． （1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值； （2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大． 答案：【考点】解三角形的实际应用． 【专题】综合题；解三角形． 【分析】（1）利用余弦定理求出BC，CD，DA，可得l，利用换元、配方法，即可得出结论； （2）利用三角形的面积公式、扇形的面积公式，再利用导数，可得当θ为何值时，鲜花种植面积S最大． 【解答】解：（1）由题意，BC=CD==2sin，DA==2cosθ， ∴l=2+4sin+2cosθ（0＜θ＜）， 令t=sin，则（0＜t＜），l=﹣4（t﹣）2+5， ∴t=时，即θ=，l的最大值为5； （2）S=sinθ+sin（π﹣2θ）+×=sinθ+sin2θ+θ， ∴S′=+cos2θ+=0， ∴8cos2θ+2cosθ﹣3=0， ∴cosθ=， ∴θ=，且0＜θ＜时，函数单调递增，＜θ＜时，函数单调递减， ∴θ=时，鲜花种植面积S最大． 【点评】本题考查余弦定理，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．

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