题目

如图所示，水渠横断面为等腰梯形.（1）若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角φ多大时，水流的横断面积为最大？ 答案：解：（1）依题意,侧边BC=h·（sinφ）-1,设下底AB=x,则上底CD=x+2hcotφ,又s=（2x+2hcotφ）h=（x+hcotφ）h,∴下底x=-hcotφ,∴横断面被水浸湿周长l=+（-hcotφ）=-+（0＜φ＜）.∴l′φ=+.令l′φ=0，解得 cosφ=,∴φ=.根据实际问题的意义，当φ=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.（2）设水渠高为h,水流横断面积为S,则S=（a+a+2acosφ）·h=（2a+2acosφ）·asinφ=a2（1+cosφ）·sinφ（0＜φ＜）.∴S′=a2［-sin2φ+（1+cosφ）cosφ］=a2（2cosφ-1）（cosφ+1）.令S′=0，得cosφ=或cosφ=-1（舍），故在（0,）内，当φ=时，水流横断面积最大，最大值为S=a2（1+cos）sin=a2.

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