题目

如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，∠BAC＝90°，，。M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱上的动点。 （Ⅰ）求证：平面APM⊥平面； （Ⅱ）若P为线段的中点，求证：∥平面APM； （Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由。 答案：解：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB＝AC，所以AM⊥BC， 又因为∥，且⊥底面ABC，所以⊥底面ABC。 因为AM底面ABC，所以⊥， 又∩BC＝B，所以AM⊥平面。 又因为平面APM，所以平面APM⊥平面。 （Ⅱ）取中点D，连结 由于D，M分别为的中点， 所以DM∥，且， 则四边形为平行四边形，所以∥AM。 又平面APM，平面APM， 所以∥平面APM。 由于D，N分别为的中点，所以DN∥。 又P，M分别为的中点，所以MP∥B1C。 则DN∥MP，又平面APM，平面APM， 所以DN∥平面APM。 由于∩DN＝D，所以平面∥平面APM，由于平面， 所以∥平面APM。 （Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由平面APM， 则BC1⊥PM。 设，当⊥PM时，∠BPM＝∠， 所以Rt△PBM∽Rt△∠，所以。 由已知， 所以，得，由于， 因此直线与平面APM不能垂直。

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