题目

19.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上，且PE∶ED=2∶1. （Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD;（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论. 答案：19.（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,所以AB=AD =AC=a. 在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB.同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解:作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC.∠EHG为二面角θ的平面角.又PE∶ED=2∶1,所以EG=a,AG=a,GH=AGsin60°=a.从而tanθ==,θ=30°.（Ⅲ）解法一:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为A（0,0,0），B（a,－a,0），C（a,a,0），D（0,a,0）,P（0,0,a），E（0,a,a）.所以=（0,a,a）,=（a,a,0）,=（0,0,a）,=（a,a,－a）,=（－a,a,a）.设点F是棱PC上的点，=λ=（aλ,aλ,－aλ）,其中0＜λ＜1,则=+=（－a,a,a）+（aλ,aλ,－aλ）=（a（λ－1）,a（1+λ）,a（1－λ））.令=λ1+λ2,得　即解得λ=,λ1=－,λ2=.即λ=时，=－+.亦即，F是PC的中点时，、、共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.解法二:当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下.证法一:取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.                                ①由EM=PE=ED,知E是MD的中点.连结BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.所以BM∥OE.                                                                                   ②由①、②知，平面BFM∥平面AEC.又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.证法二因为 = +=+ （+）=++=+（－）+（－）=－,所以、、共面.又BF平面AEC，从而BF∥平面AEC.

查看本题答案和解析