题目

（08年山东卷理）（本小题满分12分）已知函数其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1. 答案：【解析】（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，      当n=2时，     所以   （1）当a＞0时，由f(x)=0得＞1，＜1，此时 .当x∈（1，x1）时, f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时,  f(x)单调递增.（2）当a≤0时，恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a≤0时，f(x)无极值.（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以           当n为偶数时，令则 （x≥2）.所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此恒成立，        所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时，        要证,由于，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,        令 h(x)=x-1-ln(x-1),        则  （x≥2）,        所以当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，       所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，              当x≤2时，对任意的正整数n，恒有，              故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.              令              则              当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，              因此当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.              故当x≥2时，有              即f（x）≤x-1.

查看本题答案和解析