题目

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）． （1）求点P的轨迹方程； （2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程． 答案：【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算；待定系数法求直线方程． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用点P（x，y）满足=3，可求点P的轨迹方程； （2）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出k，即可求出直线的方程． 【解答】解：（1）由题意， =（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3， 可化为4x2+3y2=12，即：； ∴点P的轨迹方程为； （2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去； ②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9=0， ∴x1+x2=，x1x2=， ∴|AB|=•|x1﹣x2|==， ∴k=±， ∴直线l的方程y=±x+1． 【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．

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