题目

已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数集，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0,f(2)=1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；(3)试比较f()与f()的大小. 答案：思路分析：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式.(1)利用赋值法证明f(-x)=f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较它们的大小.(1)证明：函数的定义域是{x｜x≠0}.令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.(2)证明：设0＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴f()＞0，即f(x2)-f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f()=f().由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()＞f().∴f()＞f().绿色通道：判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值.

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