题目

设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (Ⅰ)求α的取值范围;  (Ⅱ)求tan(α+β)的值. 答案：(Ⅰ)|a|<2 且a≠-. (Ⅱ)tan(α+β)= 解析: (Ⅰ)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+),   ∴方程化为sin(x+)=-. ∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin(x+)≠sin= . 又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),  ∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2 且a≠-.  ∴  a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).        (Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解,  ∴sinα+cosα+a=0   ①.    sinβ+cosβ+a=0      ②. ①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0. ∴ 2sincos-2sinsin=0, 又sin≠0, ∴tan=. ∴tan(α+β)==.

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