题目

已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0） （Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值； （Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由． 　 答案：考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： （I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围； （II）先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可； （III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在． 解答： 解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx． ∵h（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴对x∈（0，+∞）恒成立， ∴，∵x＞0，则． ∴b的取值范围是． （II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]． ∵． ∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数， 当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，； ，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数， 当t=2时，ymin=4+2b． 综上所述： （III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2． 则点M、N的横坐标为． C1在点M处的切线斜率为． C2在点N处的切线斜率为． 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2． 即．则 =， ∴设，则，（1） 令，则， ∵u＞1，∴r′（u）＞0， 所以r（u）在[1，+∞）上单调递增， 故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！ 点评： 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题．

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