题目

已知x1＞0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,3,…)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足xn＜xn+1，或者对任意n∈N都满足xn＞xn+1. 答案：证明：由于xn+1-xn=-xn=且x1＞0,又由题设可知对任意n∈N,有xn＞0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x1＜1与x1＞1两种情况讨论.（1）若x1＜1,用数归纳法证明1-xn2＞0.1°当n=1时，1-x12＞0成立.2°假设当n=k时，1-xk2＞0成立，则当n=k+1时，1-xk+12=1-［］2=＞0，即当n=k+1时，有1-xk+12＞0成立.故对任意n∈N,都有1-xn2＞0,∴对任意n∈N,有xn+1＞xn.(2)若x1＞1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2＜0,此时有xn+1＜xn.综合（1）、（2），原问题获证.

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