题目

定义F（x，y）= yx （x>0，y>0）．（Ⅰ）设函数f（n）= （n∈N*），求函数f（n）的最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式F（2，x a -1）≤（a -1）2；（Ⅲ）设g（x）=F（x,2），正项数列{an}满足：a1=3，g（a n+1）= ，求数列{ an} 的通项公式，并求所有可能的乘积aiaj（1≤i≤j≤n）的和．答案：解法一：（Ⅰ）f（n）= , 因为2n2-（n+1）2=（n-1）2-2，当n≥3时，（n-1）2-2>0，所以当n≥3时f（n+1）>f（n）；当，n<3时，（n-1）2-2<O，所以当n<3时f（n+1）<f（n）．所以当n=3时f（n）取到最小值为f（3）= （Ⅱ）原不等式等价于不等式组即（i）当a>1时，2<a+1<2a，原不等式的解集是{x|a+1<x≤2a}．（ii）当a=l时，2a=a+1=2，原不等式的解集是空集．（iii）当a<1时，2a<a+1<2，原不等式的解集为{x|a+1<x≤2}．综上，a>1时，原不等式的解集是（a+1，2a）；a=1时，原不等式的解集是； a<l时，原不等式的解集是（a+1，2）．（Ⅲ）因为g（x）=2x,所以g（an+1）= ,又g（an+1）= = , 所以an+1=3an.又a1=3, 所以数列{an}是首项a1=3，公比为3的等比数列，所以an=3・3 n-1=3 n. 记数列{3 n}的所有可能的乘积（1≤i≤j≤n）的和为S，则 S=a1・a1+（a1+a2）・a2+…+（a1+a2+…+an）・an = 3・31+（3+32）・32+…+（3+32+…+3n）・3n = = + = = 解法二：（Ⅰ）由f（n）= ，计算得： n 1 2 3 4 5 …… f(n) 2 1 1 据此猜想n=3时,f（n）取到最小值．以下用数学归纳法证明n≥5时,n2<2 n成立．（i）当n=5时，52<2 5，不等式成立．（ii）假设n=k（k≥5）时不等式成立，即k2>2 k 那么2k+1=2 k ・2>k2 ・2 , 因为k≥5,所以2k2-（k+1）2=k2-2k-1=（k-1）2-2>0. 所以2k+1>（k+1）2.即当n=k+1时，不等式也成立．根据（i）和（ii）所述，对于所有n≥5，n∈N *，n2<2 n都成立．结合上表可知猜想正确，即当n=3时f（n）取到最小值为f（3）=. （Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）同解法一，得an=3n. 由ai・aj=3i・3j=3i+j （1≤i≤j≤n），列表如下：记数列{3n}的所有可能的乘积（1≤i≤j≤n）的和为S，将这个“上三角形”表绕“对角线”对称地填在“下三角形”中，得到正方形数表：记第一行的和为S1，那么2S一（32+34+36+…+32n）=S1（1+3+32+…+3n-1）. 所以2S =（3 n-1）（1+3+32+…+3 n-1）+（9 n -1）, 所以S = 解法三：（Ⅰ）因为f（n）= ,设由，所以当时，<0，所以，在内单调递减；当时，>0，所以，在内单调递增。所以f（n）= 的最小值只可能在n=2或n=3处取到，注意到f（2）=1,f（3）=,所以当n=3时,f（n）取到最小值为 f（3）=. （Ⅱ）、（Ⅲ）同解法一．解法四：（Ⅰ）同解法二，猜想n=3时, f（n）取到最小值．证明如下：当n≥5时，因为n≥5时，n-2≥3，所以≥=1. 结合上表可知猜想正确，即当n=3时,f（n）取到最小值为f（3）= . （Ⅱ）（Ⅲ）同解法一。

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