题目

设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a| （Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围； （Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值． 答案：【考点】分段函数的应用；函数的值域． 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）原不等式即为﹣a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可； （Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，当a＜0时，①≤﹣2，②＞﹣2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ） 若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1， 则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；          （Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=， 当a≥0时， ①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以 f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；                    ②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以 f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；                           当a＜0时， ①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以 f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；                          ②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以 f（x）min=f（）=， 综上可得，f（x）min= 【点评】本题考查绝对值函数的运用，考查分类讨论的思想方法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．

查看本题答案和解析