题目

（本小题满分14分） 已知数列{xn}的各项为不等于1的正数，其前n项和为Sn，点Pn的坐标为（xn,Sn），若所有这样的点Pn (n=1,2，…)都在斜率为k的同一直线(常数k≠0,1)上.    （Ⅰ）求证：数列{xn}是等比数列；    （Ⅱ）设满足 ys=,yt=（s,t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1<a<,试判断，是否存在自然数M，使当n>M时，xn>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由. 答案：证明（1）∵点，都在斜率为k的直线上 ∴=k，即=k，………………………………………(1分) 故  (k－1)xn+1=kxn ∵k≠0,xn+1≠1,xn≠1，………………………………………(3分) ∴==常数，∴{xn}是公比为的等比数列。……………………………(4分)    （2）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，xn>1恒成立。………………(5分) 事实上，由1<a<，得0<2a2－3a+1<1 …………………………………(6分) ∵yn=log (2a2－3a+1)， ∴= logxn ………………………………………(8分) 由（1）得{xn}是等比数列，设公比为q>0首项为x1，则xn=x1·qn－1(n∈N) ∴=(n－1) logq+logx1 令d=logq，故得{}是以d为公差的等差数列。 又∵=2t+1, =2s+1， ∴－=2(t－s) 即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)， ∴d=－2………………………………………(10分) 故=+（n－s）(－2)=2（t+s）－2n+1（n∈N） 又∵xn=(2a2－3a+1)  （n∈N） ∴要使xn>1恒成立，即须<0………………………………………(12分) ∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，当M=t+s，n>M时，我们有<0恒成立， ∴当n>M=(t+s)时，>1恒成立。（∵0<2a2－3a+1<1）…………………(14分)

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