题目

（12分）已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，为的重心，为的中点，在上，且； （1）求证：； （2）当二面角的正切值为多少时， 平面； （3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角 的正弦值； 答案：（1）连结CG并延长交PA于H，连结BH ∵G是△PAC的重心     ∴CG:GH=2:1    ∵CF:FB=2:1    ∴CG:GH=CF:FB    ∴FG∥BH ∵PA⊥平面ABCD    ∴PA⊥AC    ∴AC⊥平面PAB ∴    AC⊥BH   ∵FG∥BH   ∴FG⊥AC ------------4分 （2）如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系 ∵AB=AC=2且AB⊥AC  ∴∠ACB=45°  在直角梯形ABCD中    ∵∠BCD=90°    ∴∠ACD=45°∵AC=2    ∴AD=CD=    ∵PA⊥平面ABCD    ∴PA⊥CD    ∵CD⊥AD    ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD    ∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角 ∴A(0,0,0)  C(,,0)  D(0,,0)  B(,,0) 设P(0,0,)  ∴H(0,0,)  E(,,)     ∵FG⊥平面AEC    ∴FG⊥AE∵FG∥BH    ∴BH⊥AE    ∴=(,,)    =(,,)∴    ∴    ∴PA=    ∴∠PDA=2  ∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC   ---------------------8分 （3）∵BH∥FG    ∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角 ∵=（，，）  =（0，，0）  =（，，） 设平面PBC的法向量=(x,y,z)    ∴    ∴  令z=1  ∴=(2,0,1) ∴    设直线FG与平面PBC所成的角为 ∴    ∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 -----------------12分

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