题目

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值； （3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可； （2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可； （3）分和两种情况，计算即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3） ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3， y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）， （2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1， ∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称， ∴点E（2，3）， 过点E作EH⊥BC于点H， ∵OC=OB=3， ∴BC=， ∵，CE=2， ∴， 解得EH=， ∵∠ECH=∠CBO=45°， ∴CH=EH=， ∴BH=2， ∴在Rt△BEH中，； （3）当点M在点D的下方时 设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0）， ∴BP=2，DP=4， ∴， ∵，∠CBE、∠BDP均为锐角， ∴∠CBE=∠BDP， ∵△DMB与△BEC相似， ∴或， ①， ∵DM=4﹣m，，， ∴， 解得，， ∴点M（1，） ②，则， 解得m=﹣2， ∴点M（1，﹣2）， 当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在． 综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）． 【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

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