题目

用一个半球形容器和三个小球可以进行有趣的碰撞实验.三个质量分别为m1、m2、m3的小球1,2,3，半径相同且可视为质点,自左向右依次静置于容器底部的同一直线上彼此相互接触.若将质量为m1的小球移至左侧离容器底高h处无初速释放,如图所示,则三个小球间将发生一系列碰撞.已知容器内侧面光滑,半径为R,各小球间的碰撞时间极短且碰撞时无机械能损失.(1)若三个小球的质量均为m且令h远小于R,则小球在碰撞时将交换速度,且三个小球组成的系统的运动是周期性的,求此系统的运动周期T.(2)若三个小球的质量不同且成一定比例,当h为某一定值h0时,球1与球2碰撞,球2再与球3碰撞,经上述碰撞后三个小球的动量大小之比为1∶1∶2,方向相同,且球3恰能滑出容器,求三个小球的质量之比m1∶m2∶m3和h0的值. 答案：（1）球1与球2、球2与球3碰撞后交换速度，球3滑至h高处，再滑回与球2碰撞，而球2与球1碰撞，又使球1滑回h高处，此后系统将做周期性运动，又因为h＜＜RT1=T3=2π①而T=+②由①②得T=2π.③(2)依题意三个球碰后的动量之比为1∶1∶2,令p1′=p，p2′=p,p3′=2p由系统动量守恒得球1碰前动量p1=p1′+p2′+p3′=4p④由动量守恒得球1与球2碰后球2的动量p2=p1-p1′=3p⑤碰撞时无机械能损失，则有+⑥由⑥式得⑦球2与球3碰撞时动量守恒且无机械能损失，则有⑧由⑧式得⑨由⑦⑨得m1∶m2∶m3=10∶6∶3⑩对球3，碰后恰滑出容器，由机械能守恒得=m3gR而对球1，刚滑下直至与球2碰撞前机械能守恒，则=m1gh0解得：h0=0.36R

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