题目

已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值． 答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==，a2﹣b2=c2， ∵点在椭圆上， ∴，解得a=2，b=1． ∴椭圆方程为； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在． 当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2， ∴S△AOB=•2|x|•|y|=|x|• =≤•=1， 当且仅当x12=4﹣x12，取得等号， ∴时，（S△AOB）max=1； 当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）． 消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 由△＞0可得4k2+1＞m2①， x1+x2=﹣，x1x2=，可得， ， ∴AB的中点为， 由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=﹣6m② 由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0， 又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为， ， =， ∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，． 由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得； 即时，（S△AOB）max=1；        综上：（S△AOB）max=1． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

查看本题答案和解析