题目

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？ （3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由． 答案：【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的， 由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m， 则×2x（6﹣x）=××8×6， 解得：x=2或x=4． 故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的； （2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似． 当△PCQ与△ACB相似时，则有=或=， 所以=，或=， 解得t=，或t=． 因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似； （ 3）有可能． 由勾股定理得AB=10． ∵CD为△ACB的中线， ∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B， 又PQ⊥CD， ∴∠CPQ=∠B， ∴△PCQ∽△BCA， ∴=，=， 解得y=． 因此，经过秒，PQ⊥CD．

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