题目

如图①所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,将△ABD沿BD折起,二面角ABDC的大小记为θ,如图②所示. (1)求证:平面AEF⊥平面BCD; (2)当cos θ为何值时,AB⊥CD. 答案： (1)证明:在题图①中,∵D为Rt△ABC斜边AC的中点,∠ACB=30°,∴AD=AB. 又E为BD的中点,∴BD⊥AE,BD⊥EF. 在题图②中,BD⊥AE,BD⊥EF,AE∩EF=E, ∴BD⊥平面AEF. 又BD⊂平面BCD,∴平面AEF⊥平面BCD. (2)解:过A作AO⊥EF,交EF的延长线于点O,连接BO交CD的延长线于点G. 由(1)知平面AEF⊥平面BCD, ∴AO⊥平面BCD, ∴BO即为AB在平面BCD上的射影. 要使AB⊥CD,只需BG⊥CD. ∴∠AEF=θ,∠AEO=180-θ. △A′BD为正三角形,且BG⊥CD. 因此,G为A′D的中点,即O为△A′BD的重心. ∴cos ∠AEO==,即cos(180°-θ)=, ∴当cos θ=-时,AB⊥CD.

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