题目

动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点,O为坐标原点,设S=|OP|2,若x=2时,S取极小值,求S的最小值. 答案：思路分析:本题通过建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,然后利用函数求函数的最值.解:S=|OP|2=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1,则S′=4x3-12x2+6x+4=2(x-2)(2x2-2x-1)=4(x-2)(x-)(x-).令S′=0,则x1=,x2=,x3=2.当x变化时,S′,S的变化情况如下表:x(-∞,)(,)(,2)2(2,+∞)S′-0+0-0+S↘极小值↗极大值↘极小值↗∵S的定义域为(-∞,+∞),∴所求的最小值是两个极小值中较小的一个.∵当x=时,S=()4-4()3+3()2+4()+1=,当x=2时,S=24-4×23+3×22+4×2+1=5,∴S的最小值为.

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