题目

如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABC—A1B1C1中，BB1∥截面A1EDC1，求截面A1EDC1截棱台ABC—A1B1C1成两部分体积之比. 答案：解析：设三棱台的上、下底面的面积分别为S1和S2，高为h.∵,∴,∴S2=4S1.∴.∵BB1∥截面A1EDC1，BB1侧面BCC1B1，且侧面BCC1B1与截面交于C1D，∴BB1∥C1D.同理可证BB1∥A1E，∴C1D∥A1E.∵两底面互相平行，∴A1C1∥DE.∴截面A1EDC1是平行四边形，∴A1C1=DE.同样可以证明B1C1=BD，A1B1=BE，即△A1B1C1≌△BDE.∴多面体BDE-B1C1A1是棱柱，且.∵三棱柱BDE-B1C1A1的高等于三棱台ABC-A1B1C1的高，等于h.∴.∴三棱台被截面A1EDC1截得的另一部分的体积等于.∴截面A1EDC1截三棱台成两部分的体积之比为4∶3.点评：本题以棱台为载体，讨论直线与平面、平面与平面的平行关系，其关键是证明多面体BDE-B1C1A1为棱柱.

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