题目

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点； （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD是什么四边形，并证明你的结论． 答案：（1）∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△EAF和△EDC中，∵∠EAF=∠EDC，AE=DE，∠AEF=∠DEC，∴△EAF≌△EDC（ASA），∴DC=AF，又∵AF=BD，∴BD=DC，∴D是BC的中点； （2）矩形，理由是： ∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形． 【解析】 试题分析：（1）利用△AEF≌△DEC来证； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形AFBD是平行四边形，进而得出四边形AFBD是矩形． 试题解析：（1）∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△EAF和△EDC中，∵∠EAF=∠EDC，AE=DE，∠AEF=∠DEC，∴△EAF≌△EDC（ASA），∴DC=AF，又∵AF=BD，∴BD=DC，∴D是BC的中点； （2）四边形AFBD是矩形．理由是： ∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形． 【难度】一般

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