题目

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2． （Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； （Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°． 　 答案：【考点】平面与平面垂直的判定． 【专题】作图题；证明题；综合题；探究型；转化思想． 【分析】法一（Ⅰ）D为AA1中点，推出平面B1CD内的直线CD，垂直平面B1C1D内的两条相交直线DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D，即可得到 平面B1CD⊥平面B1C1D； （Ⅱ）在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，可得∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角，设AD=x， △DCC1的面积为1求出x，在AA1上存在一点D满足题意． 法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D． （Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说明在AA1上存在一点D满足题意． 【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90° ∴B1C1⊥A1C1 又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1． ∴B1C1⊥CD 由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知， ∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1 又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D 又CD⊂平面B1CD 故平面B1CD⊥平面B1C1D （Ⅱ）解：当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°． 假设在AA1上存在一点D满足题意， 由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1． 如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD 所以∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角 ∴∠B1EC1=60° 由B1C1=2知， 设AD=x，则 ∵△DCC1的面积为1∴ 解得，即 ∴在AA1上存在一点D满足题意 解法二： （Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）． 即 由得 由得 又DC1∩C1B=C1 ∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD ∴平面B1CD⊥平面B1C1D （Ⅱ）当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°． 设AD=a，则D点坐标为（1，0，a）， 设平面B1CD的法向量为 则由令z=﹣1 得 又∵为平面C1CD的法向量 则由 解得，故． ∴在AA1上存在一点D满足题意 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力、计算能力，是中档题．

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