题目

设函数f（x）=ex﹣ax﹣2 （1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （2）当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间； （3）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值． 答案：考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）求导函数，利用f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，建立方程，可求a的值； （2）对a分类讨论，利用导数的正负，可得当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间； （3）由题意，x＞0时，不等式等价于，求出右边函数的值域，即可求k的最大值． 解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=ex﹣a，则 ∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，解得a=e； （2）f′（x）=ex﹣a 若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增； 若a＞0，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna ①当0＜a＜1时，x=lna＜0，∴函数的单调递减区间是（﹣∞，lna）；单调增区间是（lna，0）； ②当a≥1时，x=lna＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减； （3）由于a=1，∴（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1， ∴x＞0时，不等式等价于① 令g（x）=，则 由①知，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0 ∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点， ∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点， 设此零点为α，则α∈（1，2） 当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0 ∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α） ∵g′（α）=0，∴eα=α+2 ∴g（α）=α+1∈（2，3） ∵①等价于k＜g（α）．k∈Z ∴k的最大值为2． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查函数的值域，属于中档题．

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