题目

如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且，. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．   答案：解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1， 又∵＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1. ∴a2＝2，b2＝1. 故椭圆的方程为＋y2＝1. (2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1. 于是设直线l为y＝x＋m，由 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， x1＋x2＝－m，① x1x2＝.② 又yi＝xi＋m(i＝1,2)， ∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0， 即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0. 将①②代入得 解得m＝－或m＝1，经检验m＝－符合条件． 故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.  

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