题目

p{font-size:10.5pt;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;}（08年上虞市质量调测二理） 已知函数=x-klnx,x>0,常数k>0.(Ⅰ)试确定函数的单调区间；(Ⅱ)若对于任意x≥1，f(x)>0恒成立，试确定实数的取值范围；(Ⅲ)设函数F(x)=，求证：F(1)F(2)……F(2n)>2n(n+1)n(n∈N*). 答案：p{font-size:10.5pt;text-align:left;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;text-align:left;}解析:（Ⅰ）>0,得x>k; <0,得0<x<k;故函数F(x)的单调递增区间是(k,+∞), 单调递减区间是(０,k).(Ⅱ) 若k<1, 函数f(x)在［1,+∞)递增，故只要f(1)=1>0即可。若k>1, 函数f(x)在［1,k)上递减，在(k,+∞)递增，故只要f(k)=k-klnk=k(1-lnk)>0,即1<k<e.故实数的取值范围是(0,e)（Ⅲ）F(x)=＝，F(1)F(2)……F(2n)＝（）（）……（）因为（）（）＝（2n-k)(k+1)++ +>（2n-k)(k+1)+2=2n+2+2nk-k2-k=2n+2+k(2n-k-1)>2n+2(k=0,1,2,…，n-1)所以（）（）>2n+2（）（）>2n+2……（）（）>2n+2……（）（）>2n+2相乘，得：F(1)F(2)……F(2n)＝（）（）……（）>(2n+2)n=2n(n+1)n.

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