题目

已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形． （1）证明：PD⊥平面PAB； （2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值． 答案：（1）证明：取AB得中点E，连接PE，DE． ∵AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形 ∴AE⊥AB，AE=，BE=CD，EB∥CD ∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE=CB=2，DE∥CD ∴AB⊥ED，∴AB⊥面PED⇒AB⊥PD DE2=PD2+AE2，∴PD⊥AE， ∴PD⊥面PAB （2）解：由（1）得面PAD⊥面ABCD， 过P作PO⊥ED于O，则PO⊥面ABCD， 过O作OH⊥CB于H，连接PH，则∠PHO为二面角P﹣CB﹣A的平面角． 在Rt△PED中，PO•ED=PE•PD，可得PO= 在Rt△PED中，OH=1，PH=，= ∴二面角P﹣CB﹣A的余弦值为 　

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