题目

（20）已知a＞0，函数f（x）＝，x∈（0，＋∞）.设0＜x1＜，设曲线y＝f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）.证明： （i）0＜x2≤; （ii）若x1＜，则x1＜x2＜. 答案：（20）本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力. （Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）＝－，由此得切线l的方程：y－（）＝－（x－x1）.             （Ⅱ）证：依题意，切线方程中令y＝0，x2＝x1（1－ax1）＋x1＝x1（2－ax1），其中0＜x1＜，         （i）由0＜x1＜，x2＝x1（2－ax1），有x2＞0，及x2＝－a（x1－）2＋. ∴0＜x2≤，当且仅当x1＝时，x2＝.                   （ii）当x1＜时，ax1＜1，因此，x2＝x1（2－ax1）＞x1，且由（i），x2＜， 所以x1＜x2＜.

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