题目

已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标； （3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面积的最小值． 答案：【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可； （2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得； （3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得； ②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得． 【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1， 解得：a=， 所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2； （2）由（1）知点D坐标为（1，0）， 设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0）， 则y0=（x0﹣1）2， 如图1，过点C作CF⊥x轴， ∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°， ∵∠BDC=90°， ∴∠BDO+∠CDF=90°， ∴∠BDO=∠DCF， ∴△BDO∽△DCF， ∴=， ∴==， 解得：x0=17，此时y0=64， ∴点C的坐标为（17，64）． （3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0）， 由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0， ∴， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16， 如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N， 则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2， DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1， ∴PM•QN=DM•DN=16， ∴=， 又∠PMD=∠DNQ=90°， ∴△PMD∽△DNQ， ∴∠MPD=∠NDQ， 而∠MPD+∠MDP=90°， ∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°； ②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4）， 所以DG=4， ∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8， ∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点． 　

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