题目

如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN.（1）求证：MN∥平面AA1B1B；（2）设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a.问CM为何值时，MN有最小值？并求出最小值. 答案：解析：要证线面平行，只要在面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可，利用正方体的性质,B1C=BD.由CM=DN得B1M=BN，于是作ME∥BC交BB1于E.作NF∥AD交AB于F，利用比例线段性质证明MN EF.第（2）题利用（1）的结论，MN=EF.设BE=x,由正方形性质得CM=x,即DN=x.于是AF=x.在Rt△BEF中，建立了EF的目标函数，利用函数观点求解.（1）证明：作ME∥BC交BB1于E，NF∥AD交AB于F，连结EF.∴和 又由正方体性质得BD=B1C.又∵CM=DN ，∴B1M=BN.∴.∴.又∵BC=AD，∴ME=NF.又AD BC,∴ME∥NF.∴ME NF.∴MEFN是平行四边形.∴MN EF.又∵EF面ABB1A1，MN面ABB1A1，∴MN∥面ABB1A1.（2）设BE=x,在正方形BB1CC1中，MC=x.又∵DN=CM，∴DN=x.在正方形ABCD中，DN=x,∴AF=x.∴FB=a -x.在Rt△EBF中，EF2=BE2+FB2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.∴MN=.当x=时，MN的最小值为.因此当x=时，MN取得最小值.

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