题目

已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切. (1)求P点的轨迹C的方程. (2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由. 答案： (1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等， ∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线， ∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x. (2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB， ∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋·＝0. ∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4. ∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．

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